Propuesta: Problemas matemáticos

Bueno, aquí os pongo una propuesta. Me pregunto si os gustaría jugar a hacer matemáticas. La idea es la siguiente: alguien propone un problema y los demás foreros deben resolverlo. Entonces cada uno expone su solución, y quien ha acertado, gana.

Por ejemplo podríamos hacer que quien acierta propone el siguiente problema (cosa divertida ) o simplemente que esto vara rotando.

Bueno, esuna propuesta, lo veo un modo divertido de pasar el rato. Si suficiente gente se apunta, yo mismo podría empezar

¡Hasta luego! ¡¡A dar vida al foro!!

PS: Esto puede extrapolarse a otros subforos si se quiere.

Podríamos empezar con los 150 problemas de Nick: http://www.qbyte.org/puzzles/puzzle99.html

Me autorrespondo, empiezo con el reto y practico LaTeX. Es el problema 141 de los que puse antes. ¿Alguien dijo que le gustaba el análisis?

Dada la serie f(x) = x - x² + x⁴ - x⁸ + ... + (-1)ⁿ x⁽²ⁿ⁾ + ..., que converge para |x|=1, ¿existe el límite de f(x) cuando x tiende a uno por la izquierda? ¿Cuál es su valor?

No has explicado cómo poner LaTeX!!!! Cómo hago yo para escribir

Yo te lo pongo (en el subforo LaTeX está cómo) :

Te he toqueteado un poco el post (espero que no te importe) para poner el LaTeX :p

Bueno, ahora no puedo mirarlo porque me voy, pero me lo apunto en un papelito

En un par de días vuelvo...

Cagontusmuelas yo volviéndome loco para entender esto y es que ¡¡has copiado mal el enunciado!! 

Dice exactamente: Considerando las series alternadas que converge para ¡¡!! no (en x = 1 diverge (más estrictamente es oscilante) por ser una serie periódica que alterna entre los valores , si no me equivoco), ¿existe límite cuando x tiende a 1 por la izquierda? Más potito:

¿? (Me encanta el )

Vamos a trabajar un poco el tema. Tratamos una de las llamadas "series alternadas". Estas, según el Teorema de Leibniz

Sea una serie , si y es decreciente, es decir , la serie necesariamente converge y, lo interesante, la suma de dicha serie nunca sobrepasa al primer término (evidente, pues cada vez se suman y restan términos menores). El caso es que para x < 1, nuestro es decreciente. Con esto aseguramos que converge.

Vamos a ver hacia qué converge según x se acerca a 1. Para hacerlo, hacemos una serie de sumas parciales, de la forma:



En general:


Sabemos que en este tipo de series, la suma real estará comprendida entre cualesquiera consecutivos, es decir (o al revés). Así pues, ayudándonos del cálculo computacional, hacemos un pequeño script:


Con este código podemos aproximar con mucha precisión nuestro límite pues podemos obtener, por ejemplo, y , sabiendo que nuestra suma se encuentra entre ambas. Como en el cálculo con ordenadores tenemos un límite bastante alto de decimales, llega un momento que el programa solo devuelve una cifra. Nos ponemos manos a la obra:
Aproximando consecutivamente x a 1 vamos obteniendo una serie de valores

Para x = 0.5 obtenemos 0.30860900855623185634613037109375
Para x = 0.9 obtenemos 0.46777559905744131585336731404822785407304763793945, parece que tendemos a 1/2
Para x = 0.99 obtenemos 0.49409849522830917578630760544911026954650878906250, efectivamente nos acercamos a 0.5
Para x = 0.999 obtenemos 0.50012422155131841527975211647571995854377746582031... ¡vaya!, nuestro límite es mayor que 1/2
Seguimos, apurando:
Para x = 0.9999999999 obtenemos 0.50162283497723370029319767127162776887416839599609, nos acercamos a un límite.
Para x = 0.99999999999999 obtenemos 0.49725217604448729291632957938418257981538772583008 ¿¿WTF?? Esto nos desmonta la teoría de que el límite es 1/2...

En conclusión, no existe el límite sino que, como se ve, este varia de un modo oscilante. El límite intrínseco de los ordenadores nos impide evaluar con más precisión, sin duda el simple hecho de que un valor más aproximado nos devuelva un número más alejado del límite superior supuesto nos hace pensar que no encontraremos nunca límite. Sin embargo, una visión menos rigurosa del tema sí nos hace pensar que dicha oscilación irá haciéndose cada vez más pequeña y que, por tanto, podremos encontrar cada vez un intervalo menor en el que encontrar el límite (pero nunca el propio límite :p).

Bueno, mi casi nula experiencia con series (nunca he trabajado con ellas, ni las he dado en clase) me ha llevado a una solución más bien poco elegante. Si alguien quiere ver algo mejor, que vea la solución que propone Nick en sus 150 problemas :p.

PS: Si alguien quiere proponer otro problema interesante, adelante. Igual yo propongo alguno. Ah, sí, y que sea asequible... este era un poco radicalillo

Modificación:El latex es muy bonito, pero siempre escribo con errores 

Tengo la extraña impresión de que este post será frecuentado por más bien poca gente...... 

¿Por qué a la gente no le apasionan las matemáticas?

Hombre a mi me gustan, pero estando de vacaciones me pones un límite de una dificultad que en mi vida me habían planteado, supongo que con tiempo lo podría sacar, pero repito, estoy de vacaciones y mi cerebro está en standby.

Las vacaciones están precisamente para distraerse, y si te distrae hacer matemáticas, pues perfecto :p

Voy a buscar algun problemilla queno parezca muy complicado y lo pongo aquí para que todo el mundo pueda resolverlo.

¡Hasta luego!

Pongo uno, también de la página anterior, que he intentado resolver y aún no he podido. Si es demasiado, dejadlo. Bueno, dice así:

Tenemos cinco bolas en una estructura en forma de cono, como indica el esquema:

Evidentemente todas las bolas tocan las paredes y tocan las bolas adyacentes. La primera bola tiene como radio 8 unidades, y la ultima 18 unidades. ¿Qué radio tiene la bola central?

La idea es fácil de captar y es también fácil deducir que sólamente hay una solución posible. Sin embargo no he sido capaz de matematizarlo. Voy  a seguir intentándolo y si no es posible, espero que me ayudéis :p

PS: No me sirve de ayuda que alguien mire la respuesta xDD

Esto parece un monólogo, pero bueno, voy a poner la solución del problema que he planteado antes porque me ha costao lo suyo y me apetece poner cómo lo he resuelto. Lo haré narrando el proceso.

Lo primero que hice fué simplificar el sistema en una serie de ecuaciones (cinco, concretamente). Para hacerlo usé, evidentemente, trigonometría del siguiente modo:

Modificación: Se me ha ido la mano con el dibujo (lo he copiado mal de mis propos cálculos, qué mal xDD). Evidentemente, los radios son perpendiculares a la línea exterior y las distancias correspondes al exterior también, no al interior, como aparece ahí. Bueno, realmente si ignoráis la parte de abajo y le dais la vuelta al esquema entonces está bien
(es una mierda esquema, sí, lo siento xD)
Bueno, lo que representa e dibujito es la estructura dividida entre dos. La distancia a es la que hay entre el centro de la bola 8 y un supuesto pico del cono. las demás líneas representan radios de distintas bolas (está un poco torcido todo, pero bueno). El centro de cada bola corresponde con la parte inferior de cada radio (la línea recta central horizontal es la que comparten todos los centros.

Bueno, la idea es que a partir de ahí es sencillo sacar una serie de conclusiones, más bien, de ecuaciones:
Definimos , así pues:

Es un principio, no se por qué, conté mal el número de incógnitas, creyendo que requería otra ecuación, así que aparqué el tema y busqué por otra parte.
Fue entonces cuando me di cuenta de que, tal vez, la progresión de radios fuera lineal. Encontré que la bola 8 era la bola 18. Así pues, suoponiendo lineal la progresion, podemos decir que:


Por tanto, multiplicando dos veces 18 por n obtenemos un radio de la bola deseada en el caso de que sea lineal. Este radio es 12. No pude contenerme y miré la respuesta (que no la solución detallada), viendo que efectivamente el radio era 12. Sin embargo no me quedé contento. No había demostrado que la progresión fuera lineal de un modo estricto, ni tenía el cerebro preparado para hacerlo. Por eso me puse a buscar un camino más largo pero menos complejo, volviendo a las ecuaciones anteriores y dándome cuenta de que el sistema estaba completo. Así pues me puse a resolverlo a mano. Cuando llevaba tres páginas repletas de cálculos y vi que el sistema que más pude reducir (a dos ecuaciones) ocupaba prácticamente una hoja entera, desistí y me quedé dormido. Eso eran las tres de la madrugada, creo.

Bueno, el tema es que hoy me he despertado inspirado y he decidido resolver el problema con el ordenador. Con la ayuda del Maxima, un magnifico programa matemático, he resuelto el sistema obteniendo como resultado .

Si hay alguna moraleja en esto es básicamente la siguiente: si algo es muy complicado, que lo haga el álgebra.

Si alguien quiere resolverlo de otro modo estaría muy bien. Y si no, ¡¡pues que alguien plantee algún problema!!

Saludosss

Copio el enunciado original:

"Consider the alternating series f(x) = x - x2 + x4 - x8 + ... + (-1)n x(2n) + ... , which converges for |x| < 1.  Does the limit of f(x) as x approaches 1 from below exist, and if so what is it?"

Converge, según el dictionary.com:

con‧verge
3.   Mathematics.
a.   (of a sequence) to have values eventually arbitrarily close to some number; to have a finite limit.
b.   (of an infinite series) to have a finite sum; to have a sequence of partial sums that converges.
c.   (of an improper integral) to have a finite value.
d.   (of a net) to be residually in every neighborhood of some point.

¿Qué quieres decir? 

Qué triste y vacío está esto....

Aun así, voy a poner otro problemilla de Nick. Que alguien lo resuelva, por favor :S. Dice así:

Un granjero tiene cuatro pedazos rectos de valla. Uno de 1, otro de 2 otro de 3 y otro de 4 metros. Suponiendo la tierra plana, ¿cuál es el área máxima que puede encerrar con estos pedazos de valla?

Vaaa, a pensar un poco, que queda menos para volver a las clases   

Es un coñazo de problema. Si alguien tiene otro, que lo ponga...

No creo que esté bien, pero bueno es lo primero que se me ocurre ahora que he visto el problema. Intuitivamente no se por qué me da que la forma más óptima es juntar el de 2 y el de 1 metro en una recta de 3 metros de forma que queda un triángulo isósceles (base 4 catetos 3 y 3) Es intuición, (igual que la forma de mayor área de un rombo es un cuadrado) y como no tengo muchas ganas de demostrarlo con optimización si el resultado es incorrecto será esta premisa la que falla.

Para encontrar el área de ese triángulo lo separamos en dos triángulos rectángulos de base 2, altura h y hipotenusa 3 metros. Por pitágoras obtenemos que la altura es igual a


Como el área de un triángulo es base por altura partido dos, la superfície final del triángulo isósceles será igual a 2 * 5^(1/2)


Ahora no estoy para pensar mucho, así que si alguien quiere dar una explicación mejor (demostrando las cosas que dice y todas esas cosas que se suelen hacer ) adelante, que no será muy difícil xDD.


PD: Para el próximo problema que plantee o resuelva habré aprendido a usar Latex y quedará más bonito. 

No te tortures, he tachado el enunciado por algo. Es incombustible y es necesario usar teoremas de los que nunca había oido hablar.

Náh... si alguien plantea algo, pues lo resolveremos :p

No tengo nada de matemáticas por aquí... así que lo tengo algo difícil. Lo que me he planteado estudiar es Probabilidad... me gusta !

Lo que quería decir, Azelath, es que yo no copié ni traduje mal el enunciado del problema. Si está mal puesto en la página de Nick, no es mi culpa. 

Siiiii, te equivocaste en una tontería, fijte, donde tenías que poner "<" pusiste "=", pero que no pasa nada! A ver si segumos escribiendo que ultimamente estás ausente .

Y YouY ¿¿Probabilidad?? Ugghhh, no sé, es interesante pero me parece aburrido (hasta donde he visto). Cuéntanos más al respecto!

Saludoooossss

No me habléis de ÉSA parte de las matemáticas, que este año los lunes tendré 6 horas de estadística con apenas media horita para almorzar y comer .

Os pongo otro problema de análisis, de los pocos ejercicios posibles que habían en el examen que hice el viernes pasado:

Calcular el área de la superfície comprendida entre la gráfica de la función , el eje OX y las rectas y


Ale a integrar, que es inmediata y no hacen falta matemáticas universitarias para hacer algo así   .

Porque no te dedicas a poner infinidad de integrales para que las resolvamos Puede ser divertido xDDD. Luego pongo algunas de las que tengo por ahi, que ahora me da pereza ir a buscarlas

Hombre, por mi ningun problema, pero buscarlas es un quemazo también xDDD. Pon tu primero algunas y me comprometo a proveer de una infinidad de ellas ordenadas por dificultad y metodología de resolución.

PS: ¿Las integrales tienen copyright? xDD

Posíblemente tengan porque las dicte de un libro o nosequé. Bien aquí os pongo alguns. Quizá sean extremadamene fáciles pero nose, yo de hacer aun estoy un poco verde:










Són bastante fáciles, aunque hay alguna que hay que pensar, por lo menos yo

Mis soluciones, que no por eso buenas (si alguien no está de acuedo que me lo diga que me habré equivocado):

. Sabemos que por tanto sustituimos y queda . Entonces sabiendo que obtenemos que la integral tiene la siguiente forma: siendo así immediata con solución

. Por propiedades de las potencias tenemos que . Hacemos cambio de variable con y . De ese modo tenemos una integral de la forma que tiene como solución

. Esta no necesita explicación. Hacemos por partes:

La ultima es una parida: .

no estoy de acuerdo con tu razonamiento en la segunda. Por supuesto puedo estar totalmente equivocado, pero 9^x no es (3^x)^2 porque en 9^x la x no esta elevada, en cambio en (3^x)^2 si que la elevas.  Y bueno en la primera creo que si que es así, pero no entiendo el paso que das entre  sec^2/tgx y lo que hacesluego. Y bueno en la tercera eso de que no necesite explicación xDDD pues yo són esas las que no me salen, las demás si

A ver. Lo de la segunda creo que está bien. . Si lo piensas es obvio: ¿no?, pues invertimos el proceso cambiando los papeles y queda . Oséase que esto está bien. Puedes comprobarlo numéricamente, es decir, por ejemplo

En la primera, pues es simple: es la derivada de . Asi pues es un logaritmo simple.

La tercera, es hacerlo por partes. Inténtalo y verás como es simple.

Vaya, la verdad es que visto así parece que tienes razón, pero a simple vista engaña. Si, ya había dicho yo que podia estar totalmente equivocado. En la primera sabiendo eso ya no hay más problema y bueno en cuanto a las de por partes, lo intentaré pero les tengo manía, no me salen

Bueno voy a poner yo un problema (ya lo puse una vez en un foro y quedo sin contestación xDD)


Hasta el 6º corte se puede usar 2^n (siendo n el numero de corte), entonces despues del 6º corte hay 2^6 = 64 trozos, a partir del 6º corte viene lo divertido xD

256 partes. Por ejemplo. Lo he hecho a ojo y expondré un breve y absurdo razonamiento (son las 00.03 y me duermo mucho):

Para n dimensiones podemos hacer n cortes tales que el número de trozos resultantes sean 2^n. Esto es obvio. Un corte es un hiperplano, es decir, un espacio (n-1 dimensiones) que divide en dos partes el espacio original (n dimensiones). Por tanto podemos alinear un hiperplano con cada eje ortogonal del hiperespacio. Tal y como vemos en una línea, un plano o un cubo, podemos hacer n cortes en los que el número de partes se multiplica por dos cada vez. Cuando ya tenemos esto (6 cortes hechos, 2^6 trozos) empieza el problema. El tema es determinar en cada nuevo corte cuantos trozos obtenemos. Así que yo, que voy de pro por la vida digo que el número total de piezas será, dado "n" el número de dimensones e "i" el número de hipertajos, 2^n + (i-n)(2^n)/2. Para n = 6 e i = 12, 256 trozos. Esto está sacado a ojo a base de analogías con círculos y 2-esferas (y 0-esferas, oséase dos puntos en una recta xDD)

Resulta más que evidente que mi razonamiento es ARBITRARIO y también que necesito dormir más. Ah, sí, y he pasado olímpicamente del hecho de que nos encontremos en un espacio de 256 dimensiones. Podemos hacer una analogía con un papel en R³. Podemos hacer tajos "tridimensionales", con otros planos. Pero en definitiva la superficie bidimensional que supone un papel se corta en dos dimensiones siempre. No puedes hacer un corte "del canto" porque simplemente no existe dicho canto. El papel (todo esto es teórico, no son propiedades de la madera ni nada) está sólo definido bidimensionalmente. Otra cosa es que lo curves, pero si es un plano, pues no puede ser. Lo mismo de la esfera. Me da igual que en topología una esfera sea homomorfa a un saco de garbanzos. Cuantitativamente la esfera tiene una definición muy clara, no es deformable, etcétera.

Bueno, me voy a dormir que me enrrollo. Que alguien ponga una solución correcta.

Me di cuenta a los diez minutos de escribirlo, pero no he podido corregir. Mi resultado está mal. Basta con probarlo para tres dimensiones. No sale (creo). Espero que no haya confundido a nadie .